Суперинтегрируемость и кулон-осцилляторная дуальность

Аннотации

Аннотация

Приведены волновые функции для восьмимерного изотропного осциллятора, пятимерной кулоновской задачи и $SU(2)$-монополя Янга–Кулона, трехмерной задачи МИК–Кеплера, обобщенной задачи МИК–Кеплера и обобщенных систем  Кеплера–Кулона и осциллятора, а также четырехмерного изотропного и дважды сингулярного осциллятора в системах координат, в которых допускается разделение переменных в соответствующих уравнениях Шредингера. С помощью доказанного нами условия ортогональности радиальных волновых функций относительно неэнергетического квантового числа найдены коэффициенты межбазисных разложений приведенных выше систем. Установлены преобразования дуальности, переводящие задачу о восьмимерном изотропном осцилляторе в пятимерные задачи Кулона и $SU(2)$-монополя Янга–Кулона (преобразование Гурвица), а также задачу МИК–Кеплер а и обобщенную систему МИК–Кеплер а в четырехмерный изотропный и дважды сингулярный осциллятор (преобразование Кустаанхеймо–Штифеля) соответственно. Найдены коэффициенты, связывающие базисы этих систем друг с другом. Для пятимерной $SU(2)$-модели монополя Янга–Кулона найдена скрытая группа симметрии $SO(6)$ и чисто алгебраическим способом вычислен энергетический спектр.

Решено уравнение Шредингера для «свободной» частицы в кольцеобразной модели, и выведена формула, обобщающая разложение плоской волны по сферическим волнам.

Рассмотрены квантово-механические задачи рассеяния в пятимерных кулоновской и $SU(2)$-монополя Янга–Кулона системах, а также в полях задачи МИК–Кеплера.